Нильс Хенрик Абель математик ретінде несімен әйгілі
Мазмұны
Ғылым тарихы өмірі трагедиялық ерте үзілген көптеген данышпандарды біледі. XIX ғасырдағы математиктердің арасында тек 26 жыл ғана өмір сүрген норвег ғалымы ерекше орын алады. Осындай қысқа мерзім ішінде бұл зерттеуші математикалық ғылымның бүтін бөлімдерінің дамуын өзгерткен ашылулар жасауға үлгерді. Оның жұмыстары заманынан озып, автордың қайтыс болуынан кейін ғана мойындалды. Нильс Хенрик Абельдің негізгі жетістіктерін және олардың қазіргі математикаға әсерін қарастырайық.
Бесінші дәрежелі теңдеулердің шешілмейтіндігі туралы теорема
Норвег математигінің басты жетістігі бесінші дәрежелі жалпы алгебралық теңдеуді радикалдарда шешудің мүмкін еместігін дәлелдеуі болды. Ғасырлар бойы ғалымдар квадраттық, кубтық және биквадраттық теңдеулерге ұқсас әмбебап формуланы табуға тырысты. Абель 1824 жылы қатаң дәлелдеме ұсына отырып, осы мәселені түпкілікті жапты.
Бұл нәтиженің маңызын асыра бағалау қиын:
- жұмыс көпғасырлық әмбебап шешім іздеуіне соң қойды;
- дәлелдеме топтар теориясы мен абстрактілі алгебраның дамуын ынталандырды;
- зерттеу математикалық есептердің шешілімділігін зерттеудің жаңа бағытын ашты;
- Абель әдісі алгебралық құрылымдарды қазіргі түсінудің негіздерін қалады.
Осы теореманың жариялануы ғалымға ғылыми ортада халықаралық мойындалу әкелді.
Абель топтары және олардың қасиеттері
Математик топтар теориясына іргелі үлес қосты, дегенмен термин өзі кейінірек пайда болды. Оның есімімен нәтиже элементтердің ретіне тәуелді болмайтын коммутативті топтар аталады. Абель құрылымдары заманауи алгебра мен топологияда барлық жерде кездеседі.
Мұндай топтардың негізгі сипаттамалары бірнеше маңызды қасиеттерді қамтиды:
- Элементтерді қосу немесе көбейту операциясы орын ауыстыру қасиетіне ие. Бұл кез келген екі a және b элементтері үшін a + b = b + a теңдігінің орындалатынын білдіреді. Ең қарапайым мысал әдеттегі қосу операциясы бар бүтін сандар болып табылады.
- Абель тобының әрбір элементінің топтық операцияға қатысты кері элементі бар. Бейтарап элементтің болуы кез келген әрекетті «күшін жою» мүмкіндігіне кепілдік береді. Бұл қасиеттер абель топтарын симметрияларды зерттеуге ыңғайлы құрал етеді.
- Құрылым іргелі теоремаға сәйкес қарапайым компоненттерге ыдырауға жол береді. Кез келген ақырлы абель тобы циклдік топшалардың тура көбейтіндісі түрінде берілуі мүмкін. Бұл жіктелу изоморфизмге дейінгі дәлдікпен бірегей.
Заманауи алгебралық топология кеңістіктерді жіктеу кезінде абель топтарын белсенді пайдаланады.
Эллиптикалық функциялар
Абель эллиптикалық интегралдар мен оларға сәйкес функциялардың терең зерттеулерін жүргізді. Оның көзқарасы өткендегі ғалымдар мен бәсекелестердің әдістерінен түбегейлі өзгеше болды. Интегралдарды элементар функциялар арқылы өрнектеу әрекеттерінің орнына ғалым кері тәуелділіктерді қарастырды.
Осы саладағы жұмыстар келесі жетістіктермен сипатталады:
- комплексті айнымалының екі еселенген периодты мероморфты функциялары ұғымын енгізу;
- әртүрлі текті эллиптикалық интегралдар арасындағы байланысты орнату;
- эллиптикалықтардың жалпылауы ретінде абель интегралдары теориясын әзірлеу;
- эллиптикалық функциялар үшін қосу теоремасын дәлелдеу.
Бұл нәтижелер заманауи комплексті талдау теориясы мен алгебралық геометрияның негізіне жатады.
Шексіз қатарлар теориясы
Норвег зерттеушісі шексіз қатарлардың жинақталуы мәселелеріне үлкен көңіл бөлді. Оның жұмыстары Эйлер мен Лагранж кезінен бастап даулы болып қалған проблемаға анықтық енгізді. Абель алғаш болып дивергентті қатарлармен дұрыс жұмыс жасау критерийлерін қатаң тұжырымдады.
Негізгі нәтижелер бірнеше маңызды теоремаларды қамтиды:
- Дәрежелік қатарлардың үздіксіздігі туралы Абель теоремасы жинақталу шеңберінің шекарасында қосындының үздіксіздігінің сақталуын растайды. Егер қатар шекаралық нүктеде жинақталса, онда ішінен жақындағанда қосындының шегі қатар қосындысының мәніне тең болады. Бұл тұжырым математикалық талдауда және функциялар теориясында қолданыс табады.
- Абель бойынша қосу шекті өту арқылы кейбір дивергентті қатарларға мәндер тағайындауға мүмкіндік береді. Әдіс жинақталуды қамтамасыз ететін параметрді енгізуден, одан кейін оны критикалық мәнге жақындатудан тұрады. Мұндай көзқарас Фурье қатарларымен жұмыс мүмкіндіктерін кеңейтті.
Әріптестердің қате манипуляцияларын сынау математикалық қатаңдық стандарттарын жоғарылатуға ықпал етті.
Алгебралық геометрияға қосқан үлесі
Абельдің зерттеулері алгебралық қисықтар теориясының іргелі мәселелеріне қатысты. Оның жұмыстары риман беттерінің және заманауи алгебралық геометрияның дамуын болжады. Алгебралық қисықтардағы интегралдар туралы Абель теоремасы эллиптикалық жағдайлардың нәтижелерін жалпылады.
Абель көпжақтары осы бағыттағы пионерлік идеялар үшін ғалым құрметіне аталған. Бұл объектілер абель тобы құрылымы бар проективті алгебралық көпжақтарды білдіреді. Олардың қасиеттерін зерттеу бүгінгі күнге дейін математикалық зерттеулердің белсенді саласы болып қала береді.
Норвег данышпанының мұрасы оның қайтыс болуынан кейін екі ғасырға жуық уақыт өткеннен кейін математиканың дамуына әсер етуді жалғастыруда. Мерзімінен бұрын өлім ғылымды оның жемісті ақыл-ойынан сөзсіз туындайтын одан әрі ашылулардан айырды. 2002 жылы Норвегия үкіметі бекіткен Абель сыйлығы ғалымның жұмыстарының мәңгілік маңыздылығын атап көрсетеді. Абельдің аты математикалық данышпандық пен шындыққа ұмтылыстың белгісі ретінде тарихқа мәңгілікке жазылған.
