Пуанкаре топологияның негізін қалай қалады

Математикалық ойлау тарих бойы кеңейіп, нақты пішіндерді зерттеуден абстрактілі құрылымдарды талдауға ауысты. Уақыт өте келе ғалымдарға фигуралардың өлшемінен гөрі үздіксіз түрлену кезінде сақталатын қасиеттерін түсіну маңызды бола бастады. Мұндай көзқарас геометрияға жаңаша қарауға мүмкіндік беріп, күрделі кеңістіктерді сипаттаудың тиімді жолдарын ашты. Осы кезеңде көптеген теориялық бағыттарды біріктіретін жаңа сала қалыптасып, кейін ол топология деген атқа ие болды. Бұл ғылымның негізін қалауда Анри Пуанкаренің еңбегі шешуші рөл атқарды.

Жаңа бағыттың қалыптасуына түрткі болған идеялар

XIX ғасырдың соңында кеңістік туралы түсініктерді кеңейтуге деген талпыныс күшейді. Классикалық геометрия көпөлшемді және күрделі объектілерді сипаттауда жеткіліксіз болып қала берді. Пуанкаре назарын фигуралардың сыртқы түріне емес, олардың ішкі құрылымына, яғни үздіксіз деформацияға төзімді қасиеттеріне аударды.

Төменде топологияның пайда болуына ықпал еткен негізгі алғышарттар көрсетілген.

• абстракцияға қызығушылық артып, есептеулерден тәуелсіз фигураларды сипаттау қажеттігі туындады;
• алгебраның дамуы кеңістіктік объектілерді формалды құрылымдар арқылы талдауға мүмкіндік берді;
• көпқырлы кеңістіктерді зерттеу әмбебап әдістерді қажет етті;
• бірыңғай терминологияға деген сұраныс жаңа бағыттың қалыптасуын жеделдетті.

Осы факторлар Пуанкаре еңбектерінің жемісті болуына негіз қалады.

Пуанкаренің топологияны дамытудағы рөлі

Пуанкаре жұмыстары математикалық көзқарасты түбегейлі өзгертті. Ол пішіндерді созу, бүгу немесе қысу кезінде өзгермейтін қасиеттер арқылы сипаттауды ұсынды. Осылайша фигураларды тек сыртқы келбетімен емес, олардың терең құрылымымен салыстыруға жол ашылды.

Төменде оның ғылымға енгізген маңызды жаңалықтары берілген.

1. Ұғымдық аппаратты қалыптастыру. Пуанкаре байланыстың, ілмектердің және олардың түрленуінің мәнін түсіндіретін жаңа терминдер енгізді. Осы анықтамалар күрделі фигураларды салыстыруды жеңілдетіп, топологияның өз тілі қалыптасуына мүмкіндік берді. Бұл жаңалық кеңістікті құрылымдық тұрғыдан талдауға жол ашты.
2. Алгебралық тәсілді енгізу. Ол пішіндердің қасиеттерін алгебралық топтар арқылы сипаттауды ұсынды. Мұндай әдіс зерттеулерді қатаң әрі дәл орындауға мүмкіндік берді. Осы тәсіл негізінде алгебралық топология саласы пайда болды.
3. Белгілі гипотезаны тұжырымдау. Пуанкаре үшөлшемді шар туралы әйгілі есепті ұсынды. Бұл сұрақты шешу бір ғасырдан астам уақытқа созылып, көптеген жаңа әдістердің шығуына түрткі болды. Қорытынды дәлел қазіргі математиканың маңызды жетістіктерінің бірі саналады.
4. Көпқырлы кеңістік теориясын дамыту. Ол кеңістіктің жергілікті деңгейде таныс геометрияға ұқсап, ал жалпы құрылымы мүлде өзгеше болуы мүмкін екенін көрсетті. Мұндай көзқарас физика мен геометриядағы күрделі теорияларға негіз болды.

Бұл жаңалықтар Пуанкарені топологияның негізін қалаушылар қатарына қосты.

Пуанкаре идеяларының ғылымға әсері

Оның еңбектері жарық көргеннен кейін көптеген математиктер ұсынған тәсілдерді өз зерттеулерінде қолдана бастады. Абстрактілі талдау күрделі модельдерді түсіндіруде таптырмас құралға айналды. Жаңа әдістер тек математиканың шеңберінде қалмай, түрлі қолданбалы салаларда да қолданыс тапты.

Төменде ең айқын әсерін тигізген бағыттар келтірілген.

• динамикалық жүйелердің мінез-құлқын түсіндіру айтарлықтай тереңдеді;
• ғаламның пішінін зерттеуде топологиялық модельдер қолданыла бастады;
• алгебрада жаңа құрылымдар пайда болды;
• инженерияда күрделі беттерді модельдеу жеңілдеді.

Бұл мысалдар Пуанкаре идеяларының кең таралғанын дәлелдейді.

Кеңістік туралы философиялық көзқарасы

Пуанкаре кеңістікті қатты құрылым деп емес, өзара байланыстар жиынтығы ретінде қарастырды. Ол үшін маңыздысы элементтердің абсолюттік орны емес, олардың арасындағы қатынастар болды. Мұндай түсінік кеңістікті танудың жаңа қырын ашып, кейінгі теорияларға негіз қалады.

Төменде оның философиялық қағидалары сипатталады.

1. Кеңістікті қатынастар жүйесі ретінде түсіну. Бұл көзқарас геометриялық объектілердің мәнін тереңірек ашуға мүмкіндік берді. Кеңістік элементтерінің байланысы олардың құрылымын анықтайды. Мұндай тәсіл зерттеулердің көкжиегін кеңейтті.
2. Үздіксіздік идеясын дәріптеу. Ол пішіндерді біртіндеп өзгеру контекстінде зерттеу қажет екенін атап өтті. Бұл топологияның негізгі ұстанымына айналып, көптеген математикалық теорияларда орталық рөл атқарды.
3. Әмбебаптыққа ұмтылу. Пуанкаре әдістерінің көп салада қолданылуы оның ойларының күшін көрсетті. Абстрактілі модельдер күрделі мәселелерді шешуде ерекше тиімді болды. Бұл ерекшелік оның еңбектерін ғасырлар бойы өзекті етіп келеді.

Осы қағидалар топологияның ғылым ретіндегі мәртебесін айқындады.

Пуанкаре идеялары бүгінгі математикалық ойлаудың маңызды бөлігін құрайды. Олар абстракция мен логиканы нақты міндеттерді шешумен ұштастыруға мүмкіндік берді. Оның кеңістік туралы көзқарасы талай ғалымға шабыт беріп, жаңа зерттеулерге жол ашты. Топологияның қазіргі деңгейге жетуіне Пуанкаре мұрасы зор серпін берді.