Гильберт логиканы қалай реформалады

Математика ғасырлар бойы оның негіздерін қайта ойлаған көрнекті ақылдардың күш-жігерінің арқасында дамыды. XIX және XX ғасырлар тоғысы осы ғылымның іргелі қағидаларын түсінуде терең дағдарыспен белгіленді. Жиындар теориясының парадокстары әдеттегі пайымдау әдістерінің сенімділігіне күмән туғызды. Дәл осы кезеңде неміс ғалымы Давид Гильберт математикалық білімді негіздеуге революциялық тәсіл ұсынды. Оның бағдарламасы тек пәннің өзін ғана емес, сонымен қатар іргелес саланы — формальды логиканы да түрлендірді. Бұл ойшылдың идеяларының әсері қазіргі ғылымда бүгінге дейін сезіліп отыр.

Реформаның тарихи контексті

Он тоғызыншы ғасырдың соңы математиктерге елеулі сілкіністер әкелді. Рассел парадоксы мен жиындардың аңғал теориясындағы басқа қайшылықтардың ашылуы аксиомалардың мызғымастығына сенімді әлсіретті. Ғалымдар өз пәндерінің негіздерін мұқият тексеру қажеттілігін түсінді.

Гильберт 1900 жылы Парижде Халықаралық математиктер конгресінде бағдарламалық сөз сөйледі. Ол ондаған жылдарға зерттеу бағыттарын анықтаған жиырма үш шешілмеген мәселені тұжырымдады. Олардың екіншісі арифметиканың қайшылықсыздығына қатысты болып, логикалық зерттеулер үшін бастапқы нүкте болды.

Неміс профессоры математиканы мүлдем сенімді білім жүйесіне айналдыруға ұмтылды. Оның тәсілі барлық пайымдаулардың толық формализациясын және олардың дұрыстығын қатаң тексеруді көздеді. Бұл өршіл мақсат дәлелдеу табиғатын түбегейлі қайта ойлауды талап етті.

Аксиоматикалық әдіс

Түрлендірулердің басты құралы жетілдірілген аксиоматикалық тәсіл болды. Гильберт оның күшін 1899 жылғы «Геометрияның негіздері» еңбегінде көрсетті. Онда ол евклидтік ғылымның ғимаратын қатаң іргетаста қайта тұрғызды.

Жаңа әдістің классикалықтан принципті айырмашылықтарына мыналар кірді:

• аксиомалардың көрнекі түсініктер мен геометриялық объектілерді интуитивті ұғынудан толық тәуелсіздігі, бұл жасырын болжамдардан аулақ болуға мүмкіндік берді;
• барлық бастапқы ұғымдарды қарапайымырақ терминдер арқылы мазмұнды анықтама беру әрекетінсіз айқын санап шығу;
• әрбір постулаттың тәуелсіздігін қалғандары сақталған кезде ол бұзылатын модельдер тұрғызу арқылы жүйелі тексеру;
• қарастырылатын саланың барлық ақиқат тұжырымдарының шығарылуына кепілдік беру үшін аксиомалар жүйесінің толықтығын зерттеу.

Мұндай тәсіл дедуктивті ғылымдарды белгіленген ережелер бойынша символдармен ойналатын бір түрлі ойындарға айналдырды. Мазмұндық интерпретация формальды құрылымға қатысты екінші дәрежелі болды.

Формализм философиялық ұстаным ретінде

Гильберттің әдіснамалық жаңалықтары математикалық білім табиғатының белгілі бір тұжырымдамасына сүйенді. Ол теоремаларды берілген түрлендіру ережелері бойынша алынатын символдар тізбектері ретінде қарастырды. Өрнектердің мағынасы формальды талдаудан тыс қалдырылды.

Формалистік бағдарламаның негізгі ережелері келесідей болды:

1. Математикалық тұжырымдар өзіндік мәнінен айырылған белгілер комбинациялары болып табылады. Интерпретация сырттан енгізіледі және өзгеруі мүмкін. Бір формальды жүйе көптеген мазмұнды оқылымдарға жол береді.
2. Дәлелдеу формулалардың соңғы тізбегі болып табылады, мұнда әрқайсысы не аксиома ретінде қызмет етеді, не алдыңғылардан шығару ережелері бойынша алынған. Интуиция мен көрнекілік негіздеу процесінен алынып тасталады. Дұрыстық механикалық түрде тексеріледі.
3. Жүйенің қайшылықсыздығы онда бір мезгілде қандай да бір тұжырым мен оның терістеуін шығарудың мүмкін еместігін білдіреді. Бұл қасиет финиттік құралдармен дәлелденуге жатады. Гильберт математиканың сенімділігін оның өз ішінен негіздеуге үміттенді.
4. Метаматематика формальды жүйелерді зерттеу объектілері ретінде қарастырып, оларға қатаң талдау әдістерін қолданады. Ол тек интуитивті түрде айқын және мінсіз пайымдау тәсілдерін пайдаланады. Осылайша абсолютті анықтыққа қол жеткізіледі.

Формалистік ұстаным логиканы психологиялық және философиялық қабаттардан босатты. Ол шығару құрылымдары туралы дәл ғылымға айналды.

Символдық логиканың дамуына қосқан үлесі

Гильберт пен оның мектебінің еңбектері формальды талдаудың техникалық аппаратын айтарлықтай байытты. Гёттинген семинары бүкіл әлемнен талантты зерттеушілерді тартты. Онда жалпы қабылданған болған қаталдық стандарттары қалыптасты.

Осы бағыттың нақты жетістіктері бірнеше саланы қамтыды:

• Вильгельм Аккерманмен бірлескен жұмыста математикалық теорияларды білдіру үшін әмбебап тіл ретінде бірінші ретті предикаттар есептеуін әзірлеу;
• формальды шығарулардың құрылымы мен қасиеттерін метаматематика құралдарымен зерттейтін дербес пән ретінде дәлелдеу теориясын құру;
• шешілгіштік ұғымын енгізу және кейіннен есептеу теориясы үшін орталық болған алгоритмдік мәселелерді жүйелі зерттеу;
• кейінірек Курт Гёдель арифметика үшін күтпеген теріс нәтижемен шешкен логикалық жүйелердің толықтық мәселесін тұжырымдау.

Пауль Бернайспен бірге жазылған «Математиканың негіздері» оқулығы формалистік бағдарламаның жетістіктерінің энциклопедиясы болды. Ол ондаған жылдар бойы логиктердің үстел кітабы болып қалды.

Гёдель теоремаларының маңызы

Гильберт бағдарламасы 1931 жылы жас австриялық математиктің әйгілі нәтижелері жарияланғаннан кейін ішінара сәтсіздікке ұшырады. Курт Гёдель кейбір негізгі жоспарларды жүзеге асырудың принципті мүмкін еместігін дәлелдеді. Алайда бұл құлдырау парадоксальды түрде логиканы байытты.

Гёдельдік революцияның салдары көп қырлы болды:

1. Бірінші толық еместік теоремасы кез келген жеткілікті бай қайшылықсыз жүйеде ақиқат, бірақ дәлелденбейтін тұжырымдардың бар екенін анықтады. Арифметиканы толық формализациялау армандары орындалмайтын болып шықты. Математикалық ақиқат дедукция мүмкіндіктерінен асып түсті.
2. Екінші теорема жүйенің қайшылықсыздығын оның өз құралдарымен дәлелдеу мүмкін еместігін көрсетті. Негіздеудің финиттік бағдарламасы еңсерілмейтін кедергіге тап болды. Абсолютті өзіне-өзі жеткіліктікке үміт құлады.
3. Гильберттік үміттерді теріске шығару үшін әзірленген әдістер зерттеулердің жаңа көкжиектерін ашты. Синтаксисті арифметикаландыру мен диагональды конструкция қуатты талдау құралдары болды. Олар бастапқы контекстен әлдеқайда тыс қолданыс тапты.
4. Формальды тәсілдің шектеулерін түсіну математика философиясында баламалы бағыттардың дамуын ынталандырды. Интуиционизм, конструктивизм мен структурализм жаңа дәлелдер алды. Негіздер туралы пікірталас жалғасуда.

Гёдельдік нәтижелер формалистік мектептің жетістіктерін құнсыздандырған жоқ. Олар оның әдістерінің қолданылу шекараларын нақтылады.

Гильберттің мұрасы қазіргі математикалық логиканың нақты анықталған пәні мен әдістері бар қатаң пән ретіндегі бейнесін айқындады. Оның дәлелдеулерге қойылатын талаптары ғылыми қоғамдастықтың нормасына айналды. Гёттинген мектебі жасаған формальды аппарат теориялық информатиканың негізінде жатыр. Тіпті негіздеудің жаһандық бағдарламасының сәтсіздігі дедуктивті жүйелердің терең қасиеттерін анықтап, жемісті болды.